Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點，直線,設圓的半徑為，圓心在上．

（Ⅰ）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線的方程；

（Ⅱ）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或者；（2）

【解析】

試題分析：（1）由題意分析可知，圓心C既在直線上，又在直線上，所以C為兩條直線的交點，由解得C(3，2)，所以圓C的方程為，過點A作圓C的切線，顯然切線的斜率存在，設為k，則切線方程為，由于直線與圓C相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，即，，解得或，所以所求切線方程為或；（2）設圓心C(a,2a-4)，則圓C的方程為，設圓C上點M(x,y)，根據，有，整理得到點M(x,y)的軌跡方程為，設此方程為圓D，則點M既在圓C上，又在圓D上， 所以轉化為圓C與圓D有交點，根據圓與圓的位置關系有：，，即可求出的取值范圍。

試題解析：(1)由得圓心C為(3,2),∵圓的半徑為

∴圓的方程為:

顯然切線的斜率一定存在,設所求圓C的切線方程為,即

∴∴∴∴或者

∴所求圓C的切線方程為: 或者

即或者

(2)解:∵圓的圓心在在直線上,所以,設圓心C為(a,2a-4)

則圓的方程為:

又∵∴設M為(x,y)則整理得: 設為圓D

∴點M應該既在圓C上又在圓D上 即:圓C和圓D有交點

∴ 由得

由得

終上所述, 的取值范圍為: