Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（x+ ﹣2）（a＞0） （Ⅰ）當1＜a＜4時，函數(shù)f（x）在[2，4]上的最小值為ln ，求a；
（Ⅱ）若存在x0∈（2，+∞），使得f（x0）＜0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令g（x）=x+ ﹣2，∴g′（x）=1﹣ = ，
∵x∈[2，4]，1＜a＜4，
∴x2﹣a＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在[2，4]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[2，4]上單調(diào)遞增，
∴f（x）min=f（2）=ln（2+ ﹣2）=ln ，
∴a=3，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）min=f（2）=ln（2+ ﹣2）=ln ，
∵存在x0∈（2，+∞），使得f（x0）＜0，
∴l(xiāng)n ＜0=ln1，
∴0＜a＜2
故a的取值范圍為（0，2）
【解析】（Ⅰ）令g（x）=x+ ﹣2，利用導(dǎo)數(shù)判斷g（x）的單調(diào)性，再根據(jù)符合函數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最值，即可求出a的值，（Ⅱ）由由（Ⅰ）可知，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，求出函數(shù)的最小值，根據(jù)存在x0∈（2，+∞），使得f（x0）＜0，得到a的取值范圍．
【考點精析】掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．