Question

已知直線l的參數方程是

x=2t y=4t+a

（t為參數），圓C的極坐標方程為ρ=4

2

cos（θ+

π

4

）．
（Ⅰ）將圓C的極坐標方程化寫為直角坐標系方程；
（Ⅱ）若圓C上有且僅有三個點到直線l距離為

2

，求實數a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用極坐標系與直角坐標系的互化公式即可得出；
（Ⅱ）要滿足條件“圓C上有且僅有三個點到直線l距離為

2

”，當圓心C到直線l的距離為

2

時即可．

解答：解：（Ⅰ）由圓C的極坐標方程為ρ=4

2

cos（θ+

π

4

）展開得ρ=4cosθ-4sinθ，變為ρ²=4ρcosθ-4ρsinθ，
化為直角坐標系方程x²+y²=4x-4y，
∴圓C的直角坐標系方程為x²+y²=4x-4y；
（Ⅱ）直線l的參數方程是

x=2t y=4t+a

（t為參數），
消去參數化為y=2x+a．
由（1）可知：圓C的方程為（x-2）²+（y+2）²=8，
∴圓心C（2，-2），半徑r=2

2

．
如圖所示：
∵圓C上有且僅有三個點到直線l距離為

2

，半徑r=2

2

．
∴當圓心C到直線l的距離為

2

時，與直線l平行的直徑與圓的兩個交點滿足條件，另外與直線l平行且與圓相切的切線的切點也滿足條件，因此圓C上共有三個點到直線l的距離等于

2

．
∴

|4+2+a|

22+(-1)2

=

2

，解得a=-6±

10

．
∴實數a的值為-6±

10

．

點評：熟練掌握極坐標系與直角坐標系的互化公式、點到直線的距離公式及把問題等價轉化是解題的關鍵．