Question

△ABC中，sin²（A+C）=sinAsinC，cosB=，=，求a+c 的值．

Answer 1

解：△ABC中，由sin²（A+C）=sinAsinC可得 sin²B=sinAsinC，再由正弦定理可得 b²=ac．
∵=ca•cosB=ca•=，∴ac=2，∴b²=2．
由余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-4•=a²+c²-3，
∴a²+c²=5，∴（a+c）²=a²+c²+2ac=5+4=9，∴a+c=3．
分析：由題意可得sin²B=sinAsinC，再由正弦定理可得 b²=ac，由 =求得ac=2．利用余項(xiàng)定理可得a²+c²=5，由此求得（a+c）²的值，從而求得a+c的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．