Question

已知橢圓Γ的方程為，A（0，b）、B（0，-b）和Q（a，0）為Γ的三個頂點．
（1）若點M滿足，求點M的坐標；
（2）設直線l₁：y=k₁x+p交橢圓Γ于C、D兩點，交直線l₂：y=k₂x于點E．若，證明：E為CD的中點；
（3）設點P在橢圓Γ內且不在x軸上，如何構作過PQ中點F的直線l，使得l與橢圓Γ的兩個交點P₁、P₂滿足？令a=10，b=5，點P的坐標是（-8，-1），若橢圓Γ上的點P₁、P₂滿足，求點P₁、P₂的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知M是B（0，-b）和Q（a，0）的中點，所以．
（2）由題設條件得方程（a²k₁²+b²）x²+2a²k₁px+a²（p²-b²）=0，所以a²k₁²+b²-p²＞0是CD的中點；
（3）因為點P在橢圓Γ內且不在x軸上，所以點F在橢圓Γ內，可以求得直線OF的斜率k₂，由知F為P₁P₂的中點，由此可得P₁（-6，-4）、P₂（8，3）．
解答：解：（1）∵，
∴M是B（0，-b）和Q（a，0）的中點，
∴．
（2）由方程組，
消y得方程（a²k₁²+b²）x²+2a²k₁px+a²（p²-b²）=0，
因為直線l₁：y=k₁x+p交橢圓Γ于C、D兩點，
所以△＞0，即a²k₁²+b²-p²＞0，
設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中點坐標為（x，y），設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中點坐標為（x，y），
則，
由方程組，消y得方程（k₂-k₁）x=p，
又因為，
所以，
故E為CD的中點；
（3）因為點P在橢圓Γ內且不在x軸上，
所以點F在橢圓Γ內，可以求得直線OF的斜率k₂，
由知F為P₁P₂的中點，
根據（2）可得直線l的斜率，
從而得直線l的方程．，
直線OF的斜率，
直線l的斜率，
解方程組，消y：x²-2x-48=0，
解得P₁（-6，-4）、P₂（8，3），或P₁（8，3）、P₂（-6，-4），．
點評：本題考查直線的圓錐曲線的綜合問題，解題時要注意公式的靈活運用．