Question

如圖，已知橢圓C的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），B是它的下頂點，F是其右焦點，BF的延長線與橢圓及其右準線分別交于P、Q兩點，若點P恰好是BQ的中點，則此橢圓的離心率是

 

．

Answer 1

分析：根據B，F點坐標可知直線BP的方程，進而根據P恰好是BQ的中點求得P點橫坐標，代入直線方程后求得P點縱坐標代入橢圓方程即可求得a和c的關系，進而求得橢圓的離心率．

解答：解：依題意可知直線BP的方程為y=

b

c

x-b，
∵P恰好是BQ的中點，∴x_p=

a2

2c

，
∴y_p=b（

a2

2c 2

-1）代入橢圓方程得

a2

4c2

+（

a2

2c2

-1）²=1，
解得

a

c

=

3

，
∴橢圓的離心率為

c

a

=

3

3

，
故答案為

3

3

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．