Question

如圖，橢圓的焦點在x軸上，左右頂點分別為，上頂點為B，拋物線分別以A,B為焦點，其頂點均為坐標原點O，與相交于直線上一點P.
（1）求橢圓C及拋物線的方程；
（2）若動直線與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同的兩點M,N，已知點，求的最小值．

Answer 1

（1）橢圓C:，拋物線C₁：拋物線C₂：；（2）.

試題分析：(1)由題意可得A（a，0），B（0，），而拋物線C₁，C₂分別是以A、B為焦點，∴可求得C₂的解析式：，設C₁的解析式為，再由C₁與C₂的交點在直線y=x上，；(2)直線OP的斜率為，所以直線的斜率為，設直線方程為，
設M（）、N（），將直線方程與橢圓方程聯立，利用解析幾何中處理直線與圓錐曲線中常用的“設而不求”思想，可以得到,結合韋達定理，即可得到的最值.
（1）由題意可得A（a，0），B（0，），故拋物線C₁的方程可設為，C₂的方程為    1分
由  得    3分
∴橢圓C:，拋物線C₁：拋物線C₂： 5分；                              （2）由（1）知，直線OP的斜率為，所以直線的斜率為，設直線方程為
由，整理得
設M（）、N（），則    7分
因為動直線與橢圓C交于不同兩點，所以
解得    8分
，
∵，
∴  11分
∵，所以當時，取得最小值，
其最小值等于    13分