Question

已知圓C：x²-2ax+y²-4y+a²=0（a＞0）及直線l：x-y+3=0，當直線l被圓C截得的弦長為2

2

時．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求過點（3，5）并與圓C相切的切線方程．

Answer 1

（I）∵圓C方程為x²-2ax+y²-4y+a²=0，
∴化成標準方程得（x-a）²+（y-2）²=4，
可得圓心為C（a，2），半徑r=2．
由此可得C到直線l：x-y+3=0的距離為d=

|a-2+3|

2

=

2

2

|a+1|，
∵直線l被圓C截得的弦長為2

2

，
∴根據垂徑定理，可得

r2-d2

=

2

，
即

4- 1 2 (a+1)2

=

2

，
解得a=1或-3，
結合a＞0，可得a=1（負值舍去）；
（II）由（I）可得圓C的方程為（x-1）²+（y-2）²=4，
設過點（3，5）并與圓C相切的直線為m：y-5=k（x-3），
即kx-y-3k+5=0，
∵直線m與圓C相切，
∴點C到直線m的距離等于半徑，
即

|k-2-3k+5|

k2+1

=2，解之得k=

5

12

，
可得直線m方程為y-5=

5

12

（x-3），
化簡得5x-12y+45=0．
又∵當經過點（3，5）的直線斜率不存在時，方程為x=3，也與圓C相切，
∴所求切線方程為x=3和5x-12y+45=0．