Question

定義數(shù)列：，且對任意正整數(shù)，有.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；
（2）問是否存在正整數(shù)，使得？若存在，則求出所有的正整數(shù)對
；若不存在，則加以證明.

Answer 1

（1），；
（2）見解析.

考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，數(shù)列的分組求和等知識(shí)，考查了學(xué)生變形的能力，推理能力，探究問題的能力，分類討論的數(shù)學(xué)思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想以及創(chuàng)新意識(shí)．
解：（1）對任意正整數(shù)k，
，
.        1分
所以數(shù)列是首項(xiàng),公差為2等差數(shù)列；數(shù)列是首項(xiàng)
,公比為3的等比數(shù)列.     2分
對任意正整數(shù)k, ,.        3分
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式  4分
對任意正整數(shù)k,
.  5分
    6分
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為
.   7分
(2)  ,
從而,由知m=1,2,3      8分
①當(dāng)時(shí),    9分
②當(dāng)時(shí),     10分       
③當(dāng)時(shí),
       13分       
綜上可知,符合條件的正整數(shù)對(m,n)只有兩對：(2,2,)與(3,1)   14分