Question

16、定義在R上的偶函數f（x），滿足以f（x+2）=-f（x）且在[0，2]上是減函數，若方程f（x）=m（m＞0）在區間[-2，6]上有四個不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄=

4

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Answer 1

分析：通過函數為偶函數及f（x+2）=-f（x）推斷出函數為周期函數．根據對稱性畫出函數的示意圖，根據函數圖象即可得出答案．

解答：解：∵f（x）是偶函數
∴f（-x）=-f（-x+2）=-f（x-2）=f（x）=-f（x+2）
即f（x-2）=f（x+2）=f（x-2+4）
即 f（x）=f（x+4）
∴f（x）是一個周期函數，周期為4
∴f（x）關于y軸對稱．
由f（x）在[0，2]上是減函數，設x₁＜x₂＜x₃＜x₄
可做函數圖象示意圖如下
∵f（x）是偶函數
∴函數關于y軸對稱
x₁+x_2⁼⁰
又∵f（x）是一個周期函數，周期為4
∴函數關于x=4軸對稱
∴x₃+x_4⁼⁸
∴x₁+x₂+x₃+x_4⁼⁴
故答案為：9．

點評：本題綜合考查了函數的奇偶性，單調性，對稱性，周期性，以及由函數圖象解答方程問題，運用數形結合的思想和函數與方程的思想解答問題．