Question

已知定義在R上的偶函數f（x）．當x≥0時，f(x)=

-x+2

x-1

且f（1）=0．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式并畫出函數的圖象；
（Ⅱ）寫出函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）由條件可得，當x＜0時，-x＞0，且f（-1）=0，f（x）=f（-x）=

x+2

-x-1

=-

x+2

x+1

，從而得到函數在R上的解析式，由此作出函數的圖象．
（II）結合函數的圖象，可得函數的值域．

解答：解：（I）由于f（x）為偶函數，當x≥0時，f(x)=

-x+2

x-1

，且f（1）=0，
故當x＜0時，-x＞0，且f（-1）=0，f（x）=f（-x）=

x+2

-x-1

=-

x+2

x+1

，
綜上可得，f(x)=

-x+2 x-1 ，x∈[0，1)∪(1，+∞) 0，x∈{-1，1} - x+2 x+1 ，x∈(-∞，-1)∪(-1，0)

，
圖象如圖：
（II）結合函數的圖象，可得函數的值域為（-∞，-2]∪（-1，+∞）．

點評：本題主要考查利用函數的奇偶性求函數的解析式，作函數的圖象，屬于中檔題．