Question

已知函數f(x)＝log₄(2x＋3－x²)．
(1)求f(x)的定義域；
(2) 求f(x)的單調區間．

Answer 1

(1) {x|－1＜x＜3}
(2) 該函數的單調遞增區間為(－1，1]，單調遞減區間為[1，3)

本題主要考查了對數函數與二次函數復合而成的復合函數的定義域、單調性及函數的值域的求解，求解單調區間時不要漏掉對函數定義域的考慮．
（1）由題意可得2x+3-x²＞0，解不等式可求函數f（x）的定義域
（2）要求函數的單調性及單調區間，根據復合函數單調性，只要求解t=2x+3-x²在定義域內的單調區間即可
解 (1)令u＝2x＋3－x²，則u＞0，可得函數定義域是：{x|－1＜x＜3}．…5分
(2) y＝log₄u．由于u＝2x＋3－x²＝－(x－1)²＋4.
再考慮定義域可知，其增區間是(－1，1]，減區間是[1，3)． ……7分
又y＝log₄u為(0，＋∞)上的增函數，                      ……8分
故該函數的單調遞增區間為(－1，1]，單調遞減區間為[1，3)．    ……10分