Question

橢圓c：（a>b>0）的離心率為，過其右焦點(diǎn)F與長軸垂直的弦長為1，
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P是直線x=1上的動點(diǎn)，直線PA與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為M，直線PB與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求證：直線MN經(jīng)過一定點(diǎn).

Answer 1

（1）；（2）證明詳見解析

解析試題分析：（1）由已知可得，＝１，解出a，b即可.
（2）設(shè)Ｐ（１，ｔ）,則直線，聯(lián)立直線PA方程和橢圓方程可得，同理得到，由橢圓的對稱性可知這樣的定點(diǎn)在軸，不妨設(shè)這個(gè)定點(diǎn)為Ｑ，由，求得m的存在即可.
試題解析：（1）依題意
過焦點(diǎn)Ｆ與長軸垂直的直線ｘ＝ｃ與橢圓
聯(lián)立解答弦長為＝１，     2分
所以橢圓的方程.      4分
（2）設(shè)Ｐ（１，ｔ）
，直線，聯(lián)立得：

即，
可知所以，
則        6分

同理得到      8分
由橢圓的對稱性可知這樣的定點(diǎn)在軸，
不妨設(shè)這個(gè)定點(diǎn)為Ｑ，      10分
又， ，
，，.     12分
考點(diǎn)：1.橢圓方程的性質(zhì)；2.點(diǎn)共線的證法.