Question

如圖，橢圓C：（a＞b＞0）的一個焦點為F（1，0），且過點（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l：x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M．
   （ⅰ）求證：點M恒在橢圓C上；
   （ⅱ）求△AMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據題意，可得a=2且c=1，利用平方關系算出b²=3，因此可求出橢圓C的方程；
（II）（ⅰ）根據題意，得F（1，0），N（4，0）．設A（m，n），則B（m，-n），可得AF、BN以m、n為參數的方程，聯解得出M（，），再M坐標代入橢圓方程加以驗證，即可得到點M恒在橢圓C上；
（ii）設AM的方程為x=ty+1，與橢圓方程消去x得（3t²+4）y²+6ty-9=0．設A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），由韋達定理將y₁+y₂、y₁y₂表示為關于t的式子，從而可得|y₁-y₂|=，然后換元：令3t²+4=λ （λ≥4），可得|y₁-y₂=4•，根據二次函數的性質算出當=時即t=0時，|y₁-y₂|取得最大值3，由此可得△AMN面積的最大值為．
解答：解：（I）由題意得a=2且c=1
∴為
（II）（ⅰ）根據題意，得F（1，0），N（4，0）
設A（m，n），則B（m，-n） （n≠0）
可得
∵AF、BN方程分別為m（x-1）-（m-1）y=0
和m（x-4）-（m-4）y=0
∴M（x，y）滿足，
聯解得x=，y=
由于====1
所以點M恒在橢圓C上；
（ii）設AM的方程為x=ty+1，與消去x得（3t²+4）y²+6ty-9=0
設A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），可得y₁+y₂=，y₁y₂=
∴|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=（）²+=
可得|y₁-y₂|==
令3t²+4=λ （λ≥4），可得|y₁-y₂|=•=4•
∵λ≥4，可得∈（0，]，
∴當=時，即t=0時，|y₁-y₂|取得最大值3，此時AM經過點F
∵△AMN面積S=|FN|•|y₁-y₂|=|y₁-y₂|
∴當t=0時，即直線AB與x軸垂直時，△AMN面積的最大值為．
點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的方程，并求證直線經過定點、求△AMN面積的最大值．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、直線與圓錐曲線位置關系等知識，屬于中檔題．