Question

如圖，橢圓C：（a＞b＞0）的一個焦點為F（1，0），且過點（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l：x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M．
（ⅰ）求證：點M恒在橢圓C上；
（ⅱ）求△AMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設a=2，c=1，從而b²=a²-c²=3，即可得橢圓C前方程．
（Ⅱ）（i）由題意得F（1，0），N（4，0）．設A（m，n），則B（m，-n）（n≠0），=1．
由題意知AF與BN的方程分別為：n（x-1）-（m-1）y=0，n（x-4）-（m-4）y=0．由此入手能夠推出點M恒在橢圓G上．
（ⅱ）設AM的方程為x=ty+1，代入=1得（3t²+4）y²+6ty-9=0．設A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），利用根與系數的關系能夠求出△AMN面積的最大值．
解答：解：
（Ⅰ）由題設a=2，c=1，從而b²=a²-c²=3，
所以橢圓C前方程為．
（Ⅱ）（i）由題意得F（1，0），N（4，0）．
設A（m，n），則B（m，-n）（n≠0），=1．①
AF與BN的方程分別為：n（x-1）-（m-1）y=0，
n（x-4）-（m-4）y=0．
設M（x，y），則有n（x-1）-（m-1）y=0，②
n（x-4）+（m-4）y=0，③
由②，③得
x=

=
=
=
=1
所以點M恒在橢圓G上．
（ⅱ）設AM的方程為x=ty+1，
代入=1，得（3t²+4）y²+6ty-9=0．
設A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），則有.=，令3t²+4=λ（λ≥4），則|y₁-y₂|==，
∵λ≥4，，∴當，即λ=4，t=0時，|y₁-y₂|有最大值3，此時AM過點F，△AMN的面積有最大值．
點評：本題主要考查直線與橢圓的位置關系、軌跡方程、不等式等基本知識，考查運算能力和綜合解題能力．