Question

【題目】設a，b，c，d均為正數，且a+b=c+d，證明：（1）若ab > cd，則 +>+ ；（2） + > + 是|a-b| < |c-d|的充要條件
（1）（I）若abcd，則++
（2）(II)++是|a-b||c-d|的充要條件

Answer 1

【答案】
（1）

見解答

（2）

見解答

【解析】（1）因為+）2=a+b+2,（+）2=c+d+2
由題設a+b=c+d，abcd，得（+）2（+）2
因此++。
（II）（i）若|a-b||c-d|，則（a-b）2（c-d）2，即（a+b）2-4ab（c+d）2-4cd，
因為a+b=c+d，所以abcd
由（I）得++
（ii）若++ ， 則（+）2（+）2，即a+b+2c+d+2,因為a+b=c+d，
所以abcd
于是（a-b）2=（a+b）2-4ab（c+d）2-4cd=（c-d）2
因此|a-b||c-d|，綜上所述，++是|a-b||c-d|的充要條件
【考點精析】關于本題考查的不等式的證明，需要了解不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等才能得出正確答案．