Question

【題目】某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺某產(chǎn)品的A，B，C三種部件的訂單，每臺產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2，2，1（單位：件）．已知每個(gè)工人每天可生產(chǎn)A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．該企業(yè)計(jì)劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為K（K為正整數(shù)）．
（1）設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x，分別寫出完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間；
（2）假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開工，試確定正整數(shù)K的值，使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)寫出完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間分別為T1（x），T2（x），T3（x）

∴ ， ，

其中x，kx，200﹣（1+k）x均為1到200之間的正整數(shù)

（2）

解：完成訂單任務(wù)的時(shí)間為f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定義域?yàn)?

∴T1（x），T2（x）為減函數(shù)，T3（x）為增函數(shù)，T2（x）= T1（x）

①當(dāng)k=2時(shí)，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{ }

∵T1（x），T3（x）為增函數(shù)，∴當(dāng) 時(shí)，f（x）取得最小值，此時(shí)x=

∵ ， ， ，f（44）＜f（45）

∴x=44時(shí)，完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，時(shí)間最短為

②當(dāng)k≥3時(shí)，T2（x）＜T1（x），

記 ，為增函數(shù)，φ（x）=max{T1（x），T（x）}

f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{ }

∵T1（x）為減函數(shù)，T（x）為增函數(shù)，∴當(dāng) 時(shí)，φ（x）取得最小值，此時(shí)x=

∵ ， ，

∴完成訂單任務(wù)的時(shí)間大于

③當(dāng)k＜2時(shí)，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{ }

∵T2（x）為減函數(shù)，T3（x）為增函數(shù)，∴當(dāng) 時(shí)，φ（x）取得最小值，此時(shí)x=

類似①的討論，此時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間為 ，大于

綜上所述，當(dāng)k=2時(shí)，完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，此時(shí)，生產(chǎn)A，B，C三種部件的人數(shù)分別為44，88，68．

【解析】（1）設(shè)完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間分別為T1（x），T2（x），T3（x），則可得 ， ， ；（2）完成訂單任務(wù)的時(shí)間為f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定義域?yàn)? ，可得T1（x），T2（x）為減函數(shù)，T3（x）為增函數(shù)，T2（x）= T1（x），分類討論：①當(dāng)k=2時(shí)，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{ }，利用基本不等式求出完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間；②當(dāng)k≥3時(shí)，T2（x）＜T1（x）， 記 ，為增函數(shù)，φ（x）=max{T1（x），T（x）}f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{ }，利用基本不等式求出完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間；③當(dāng)k＜2時(shí)，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{ }，利用基本不等式求出完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間，從而問題得解．