Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1各條棱長均為4，且AA1⊥平面ABC，D為AA1的中點，M，N分別在線段BB1和線段CC1上，且B1M＝3BM，CN＝3C1N，

（1）證明：平面DMN⊥平面BB1C1C；

（2）求三棱錐B1﹣DMN的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）4．

【解析】

（1）取線段MN的中點O，線段BC的中點E，可證DO∥AE，以及DO⊥平面BB1C1C，即可證得結論；

（2）用等體積法轉化為以D頂點，即可求出體積.

（1）證明：取線段MN的中點O，線段BC的中點E，連接DO，AE，OE，

由題意可得，OE（MB+CN）CC1．

因為D為AA1的中點，所以ADAA1，

因為AA1∥CC1，AA1＝CC1，

所以AD∥OE，AD＝OE，

所以四邊形AEOD為平行四邊形，所以DO∥AE．

因為點E為BC的中點，所以AE⊥BC，

因為AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AE，則AE⊥CC1，因為BC∩CC1＝C，

所以AE⊥平面BB1C1C，則DO⊥平面BB1C1C，

因為DO平面DMN，所以平面DMN⊥平面BB1C1C．

（2）解：因為B1M＝3BM，BB1＝4，所以B1M＝3．

所以△B1MN的面積S6．

由（1）可得，DO＝AE2．

故三棱錐B1﹣DMN的體積為：

VV4．