Question

【題目】

兩縣城A和B相聚20km，現計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k ,當垃圾處理廠建在的中點時，對稱A和城B的總影響度為0.0065.（1）將y表示成x的函數；（11）討論（1）中函數的單調性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點到城A的距離，若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）（2）在弧AB上存在一點，且此點到城市A的距離為

【解析】

試題（1）根據實際問題構造數學模型，直徑所對的圓周角為直角，進而得到

，進而得到關于的函數；（2）根據（1）得到的關于的函數，利用求導得到原函數在區間內的單調性，進而求得其最小值.

試題解析：（1）如圖,由題意知

AC⊥BC,,

其中當時，,所以

所以表示成的函數為.

（2）,,令得

,所以,即,當時,,即所以函數為單調減函數,當時,,即所以函數為單調增函數．所以當時, 即當點到城的距離為時, 函數有最小值.