Question

在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，底面ABCD是菱形，∠A＝60°，E是AD的中點，F是PC的中點．
(Ⅰ)求證：BE⊥平面PAD；
(Ⅱ)求證：EF∥平面PAB；

Answer 1

(Ⅰ)證明：∵AB＝2，∴AE＝1，
∴BE²＝AB²＋AE²－2AB·AE·cos ∠A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，
∴AE²＋BE²＝1＋3＝4＝AB²，∴BE⊥AE.
又平面PAD⊥平面ABCD，交線為AD，
∴BE⊥平面PAD.

(Ⅱ)證明：取BC的中點G，連接GE，GF.則GF∥PB，EG∥AB，
又GF∩EG＝G，∴平面EFG∥平面PAB，∴EF∥平面PAB.
(Ⅲ)解：∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC.
∴點A到平面PBC的距離等于點E到平面PBC的距離．
因為平面PBE⊥平面PBC.
又平面PBE∩平面PBC＝PB，
作EO⊥PB于O，則EO是E到平面PBC的距離，
且PE＝＝1，BE＝，∴PB＝2.
由EO·PB＝PE·EB，

∴EO＝＝.

略