Question

【題目】對于定義在R上的函數f（x），如果存在實數a，使得f（a+x）f（a﹣x）=1對任意實數x∈R恒成立，則稱f（x）為關于a的“倒函數”．已知定義在R上的函數f（x）是關于0和1的“倒函數”，且當x∈[0，1]時，f（x）的取值范圍為[1，2]，則當x∈[1，2]時，f（x）的取值范圍為 ， 當x∈[﹣2016，2016]時，f（x）的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】[ ，1]；[ ，2]
【解析】解：若函數f（x）是關于0和1的“倒函數”，
則f（x）f（﹣x）=1，則f（x）≠0，
且f（1+x）f（1﹣x）=1，
即f（2+x）f（﹣x）=1，
即f（2+x）f（﹣x）=1=f（x）f（﹣x），
則f（2+x）=f（x），
即函數f（x）是周期為2的周期函數，
若x∈[0，1]，則﹣x∈[﹣1，0]，2﹣x∈[1，2]，此時1≤f（x）≤2
∵f（x）f（﹣x）=1，
∴f（﹣x）= ∈[ ，1]，
∵f（﹣x）=f（2﹣x）∈[ ，1]，
∴當x∈[1，2]時，f（x）∈[ ，1]．
即一個周期內當x∈[0，2]時，f（x）∈[ ，2]．
∴當x∈[﹣2016，2016]時，f（x）∈[ ，2]．
所以答案是：[ ，1]，[ ，2]．