Question

在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F為棱AD、AB的中點．
（1）求證：EF∥平面CB₁D₁；
（2）求證：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

本題主要考查線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理．考查對基礎知識的綜合應用能力和基本定理的掌握能力。
（Ⅰ）欲證EF∥平面CB₁D₁，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面CB₁D₁內一直線平行，連接BD，根據中位線可知EF∥BD，則EF∥B₁D₁，又B₁D₁?平面CB₁D₁，EF?平面CB₁D₁，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）欲證平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁，根據面面垂直的判定定理可知在平面CB₁D₁內一直線與平面CAA₁C₁垂直，而AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，則AA₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥B₁D₁，滿足線面垂直的判定定理則B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，而B₁D₁?平面CB₁D₁，滿足定理所需條件．
解：（1）證明:連結BD.
在長方體中，對角線.
又 E、F為棱AD、AB的中點，
.
.
又B₁D₁平面，平面，
  EF∥平面CB₁D₁.                  
（2） 在長方體中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，
 AA₁⊥B₁D₁.
又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.
又 B₁D₁平面CB₁D₁，
平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．