Question

某商場預計從2013年1月份起的前x個月，顧客對某商品的需求總量p（x）（單位：件）與x的關系近似的滿足，且）。該商品第x月的進貨單價q（x）（單位：元）與x的近似關系是

（1）寫出這種商品2013年第x月的需求量f（x）（單位：件）與x的函數關系式；
（2）該商品每件的售價為185元，若不計其他費用且每月都能滿足市場需求，試問該商場2013年第幾個月銷售該商品的月利潤最大，最大月利潤為多少元？

Answer 1

（1），且）；（2）3125；

解析試題分析：（1）當時，需求量為，當時，2013年第個月的總需求量等于第個月的需求總量減去第個月需求總量；（2）根據利潤=該商品每件的利潤月銷售量，來列出利潤的函數關系式，然后通過求導數討論函數單調性來求函數的最值即可；
試題解析：解：（1）當時，，   2分
當，且時，

。      4分
經驗證符合。
故2013年第x月的需求量，且）。      5分
（2）該商場預計第x月銷售該商品的月利潤為
         7分
即         8分
當時，，
令，解得或（舍去）。
所以，當時，；當時，。
當時，的最大值為元。      10分
當時，是減函數，
所以，當時，的最大值為元。   12分
綜上，該商場2013年第5個月銷售該商品的月利潤最大，最大月利潤為3125元。13分
考點：利用導數求最值問題；