Question

設函數f（x）=x³﹣x²﹣2x﹣．
（1）求函數f（x）的單調遞增、遞減區間；
（2）當x∈[﹣1，1]時，f（x）＜m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）的單調增區間為（﹣∞，﹣]和[1，+∞），單調減區間為[﹣，1]; （2）m＞．

解析試題分析：（1）首先應求導數，利用導數的為正或為負，解對應不等式可得函數的單調增（減）區間；
（2）由不等式恒成立問題可通過分離參數等價轉化成f（x）_max＜m,求函數f（x）的最大值即可．
試題解析：（1）f′（x）=3x²﹣x﹣2=0，得x=1，﹣．
在（﹣∞，﹣）和[1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）為增函數；
在（﹣，1）上f′（x）＜0，f（x）為減函數．
所以所求f（x）的單調增區間為（﹣∞，﹣]和[1，+∞），單調減區間為[﹣，1]．
（2）由（1）知，當x∈[﹣1，﹣]時，f′（x）＞0，[﹣，1]時，f′（x）＜0
∴f（x）≤f（﹣）=．
∵當x∈[﹣1，1]時，f（x）＜m恒成立，
∴m＞．
考點：1.利用導數研究函數的單調性；2.不等式的恒成立問題．