Question

已知定點F(0，1)和直線l₁：y＝－1，過定點F與直線l₁相切的動圓圓心為點C.
(1)求動點C的軌跡方程；
(2)過點F的直線l₂交軌跡于兩點P、Q，交直線l₁于點R，求·的最小值．

Answer 1

（1）x²＝4y（2）16

(1)由題設點C到點F的距離等于它到l₁的距離，
∴點C的軌跡是以F為焦點，l₁為準線的拋物線．∴所求軌跡的方程為x²＝4y.

(2)由題意直線l₂的方程為y＝kx＋1，與拋物線方程聯立消去y，得x²－4kx－4＝0.
記P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－4.
由直線PQ的斜率k≠0，易得點R的坐標為，
·＝＋(kx₁＋2)(kx₂＋2)
＝(1＋k²)x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋＋4
＝－4(1＋k²)＋4k＋＋4＝4＋8.
∵k²＋≥2，當且僅當k²＝1時取到等號．
∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值為16.