Question

【題目】已知函數的最小正周期為，且點是該函數圖象的一個最高點．

（1）求函數的解析式；

（2）若，求函數的值域；

（3）把函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數在上是單調增函數，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）由是該函數圖象的一個最高點求出，由周期為求出，由特殊點的坐標求出的值，從而可得函數的解析式；（2）由可求的，利用正弦函數的性質可求其值域；（3）利用三角函數平移變換規律可求，利用正弦函數的單調性可求函數的單調遞增區間，進而可得，結合范圍，可求的取值范圍.

試題解析：（1）∵由題意可得，A=2， =π，∴ω=2．

∵再根據函數的圖象經過點M（，2），可得2sin（2×+φ）=2，結合|φ|＜，可得=，∴f（x）=2sin（2x+）．

（2）∵x∈[﹣，0]，

∴2x+∈[﹣，]，

∴sin（2x+）∈[﹣1，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，1]．（3）把函數y=f（x）的圖線向右平移θ（0＜θ＜）個單位，

得到函數y=g（x）=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x﹣2θ+），

∴令2kπ﹣≤2x﹣2θ+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k∈Z，

可得函數的單調遞增區間為：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k∈Z，

∵函數y=g（x）在[0，]上是單調增函數，∴，

∴解得：，k∈Z，∵0＜θ＜，，∴當k=0時，θ∈[，]．