Question

已知函數f（x）=（

1

3

）^x，x∈[-1，1]，函數g（x）=f²（x）-2af（x）+3的最小值為h（a），求h（a）．

Answer 1

分析：令t=（

1

3

）^x，x∈[-1，1]，則函數g（x）=f²（x）-2af（x）+3可化為φ（t）=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，t∈[

1

3

，3]，對a值進行分類討論，即可得到h（a）的表達式．

解答：解：∵x∈[-1，1]，
∴（

1

3

）^x∈[

1

3

，3]．
設t=（

1

3

）^x，t∈[

1

3

，3]．     
則當a＜

1

3

時，g（x）_min=h（a）=φ（

1

3

）=

28

9

-

2a

3

；
當

1

3

≤a≤3時，g（x）_min=h（a）=φ（a）=3-a²；
當a＞3時，g（x）_min=h（a）=φ（3）=12-6a．
∴h（a）=

28 9 - 2a 3   (a＜ 1 3 )  3-a2   ( 1 3 ≤a≤3) 12-6a   (a＞3)

．

點評：本題考查的知識點是指數型復合函數的性質及應用，分段函數解析式的求法，其中利用換元法，將問題中的函數類型轉化為二次函數是解答本題的關鍵．