Question

已知函數f_t（x）=（t-x），其中t為正常數．
（Ⅰ）求函數f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）設數列{a_n}滿足：a₁=，3a_n+1=a_n+2，（1）求數列{a_n}的通項公式a_n； （2）證明：對任意的x＞0，（x）（n∈N^*）；
（Ⅲ）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導數，確定f_t（x）在區間（0，t）上單調遞增，在區間（t，+∞）上單調遞減，從而可求函數f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）（1）證明數列{a_n-1}為等比數列，即可求數列{a_n}的通項公式a_n； 
（2）證法一：從已有性質結論出發；證法二：作差比較法，即可得到結論；
（Ⅲ）證法一：從已經研究出的性質出發，實現求和結構的放縮；證法二：應用柯西不等式實現結構放縮，即可得到結論．
解答：（Ⅰ）解：由，可得，…（2分）
所以，，，…（3分）
則f_t（x）在區間（0，t）上單調遞增，在區間（t，+∞）上單調遞減，
所以，．…（4分）
（Ⅱ）（1）解：由3a_n+1=a_n+2，得，又，
則數列{a_n-1}為等比數列，且，…（5分）
故為所求通項公式．…（6分）
（2）證明：即證對任意的x＞0，（n∈N^*）…（7分）
證法一：（從已有性質結論出發）
由（Ⅰ）知…（9分）
即有對于任意的x＞0恒成立．…（10分）
證法二：（作差比較法）
由及…（8分）
=…（9分）
即有對于任意的x＞0恒成立．…（10分）
（Ⅲ）證明：證法一：（從已經研究出的性質出發，實現求和結構的放縮）
由（Ⅱ）知，對于任意的x＞0都有，
于是，=
…（11分）對于任意的x＞0恒成立
特別地，令，即，…（12分）
有，故原不等式成立．…（14分）
證法二：（應用柯西不等式實現結構放縮）
由柯西不等式：
其中等號當且僅當x_i=ky_i（i=1，2，…n）時成立．
令，，可得
則
而由，所以
故，所證不等式成立．
點評：本題考查導數知識的運用，考查數列的通項，考查數列與不等式的綜合，考查學生分析解決問題的能力，難度大．