Question

已知函數ft(x)=(x-t)2-t（t∈R），設a＜b，f(x)=

fa(x)，fa(x)＜fb(x) fb(x)，fa(x)≥fb(x)

，若函數f（x）+x+a-b有四個零點，則b-a的取值范圍是（　　）

• A．(0，2+

  5

  )
• B．(0，2+

  3

  )
• C．(2+

  5

  ，+∞)
• D．(2+

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：解方程f_a（x）=f_b（x）得交點P(

a+b-1

2

，(

b-a-1

2

)2-a)，函數f（x）的圖象與直線l：y=-x+b-a有四個不同的交點，由圖象知，點P在l的上方，故

a+b-1

2

+(

b-a-1

2

)2-a-(b-a)＞0，由此解得b-a的取值范圍．

解答：解：作函數f（x）的圖象，且解方程f_a（x）=f_b（x）得x=

a+b-1

2

，即交點P(

a+b-1

2

，(

b-a-1

2

)2-a)，
又函數f（x）+x+a-b有四個零點，即函數f（x）的圖象與直線l：y=-x+b-a有四個不同的交點．
由圖象知，點P在l的上方，所以

a+b-1

2

+(

b-a-1

2

)2-a-(b-a)＞0，解得b-a＞2+

5

．
故選C．

點評：本題主要考查根的存在性以及根的個數判斷，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．