Question

【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面，，且.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：作的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>，且為的中點(diǎn)可得，又側(cè)面底面，由此可證底面,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.（Ⅰ）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出與，由可證；（Ⅱ）求出平面的法向量與平面的法向量，由向量知識(shí)求即可.

試題解析：（Ⅰ）作的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>，且為的中點(diǎn)，

∴，

又側(cè)面，其交線為，且，

∴ （2分）

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系：

由已知得：，，，，，

，則有：，，，

∴ （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得可設(shè)平面的法向量為，同理平面的法向量為，

則滿足： ，

解得：，，

則.

∴二面角的余弦值為. （12分）