Question

【題目】（改編）已知正數數列的前項和為，且滿足；在數列中，

（1）求數列和的通項公式；

（2）設，數列的前項和為. 若對任意，存在實數，使恒成立，求的最小值；

（3）記數列的前項和為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】分析：（1）根據及與間的關系可得數列為等差數列，進而可得通項公式；由兩邊取倒數后整理得，可得等比數列，從而可求得．（2）根據題意得到數列的通項公式，再根據錯位相減法求得，根據的單調性和不等式可得，進而可得的范圍．（3）根據及等比數列的求和公式可得．

詳解：（1）∵，

∴，

∴，

整理得，

∵，

∴．

又當時，，解得，

∴數列是首項為，公差為1的等差數列，

∴．

將兩邊取倒數得，

∴，

又，

∴數列是首項為，公比為3的等比數列，

∴，

∴．

（2）由題意得，

∴ ①

∴ ②

①②得

，

∴．

易知數列單調遞增，

∴．

又，

∴，

∴，

∴，

∴的最小值為．

（3）由題意得

　

∵，

∴，

∴．