Question

【題目】已知f（x）=loga 是奇函數（其中a＞1）
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在（2，+∞）上的單調性并證明；
（3）當x∈（r，a﹣2）時，f（x）的取值范圍恰為（1，+∞），求a與r的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意：f（x）是奇函數，則f（﹣x）+f（x）=0，即loga + =0

∴ ，解得：m=±1，

當m=﹣1時，f（x）無意義，所以 ，

故得m的值為1

（2）

解：由（1）得 ，設2＜x1＜x2，

則f（x2）﹣f（x1）= ﹣ =

∴2＜x1＜x2，∴0＜2x1x2+2（x1﹣x2）﹣4＜x1x2﹣（x1﹣x2）﹣4，

∵a＞1，∴f（x2）＜f（x1）

所以：函數f（x）在（2，+∞）上的單調減函數

（3）

解：由（1）得 ，

∴ 得，函數f（x）的定義域為（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

又∵ ，得f（x）∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）

令f（x）=1，則 =1，解得： ．

所以：f（ ）=1

當a＞1時， ＞2，此時f（x）在在（2，+∞）上的單調減函數．

所以：當x∈（2， ）時，得f（x）∈1，+∞）；

由題意：r=2，那么a﹣2= ，解得：a=5．

所以：當x∈（r，a﹣2），f（x）的取值范圍恰為（1，+∞）時，a和r的值分別為5和2

【解析】（1）f（x）是奇函數，則f（﹣x）+f（x）=0即可求解m的值．（2）定義證明（2，+∞）上的單調性即可．（3）利用單調性當x∈（r，a﹣2）時，f（x）的取值范圍恰為（1，+∞），求a與r的值．
【考點精析】本題主要考查了函數的奇函數的相關知識點，需要掌握一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數才能正確解答此題．