Question

數列{a_n} 中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不為零的常數，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成等比數列．
（Ⅰ） 求c的值；
（Ⅱ）求{a_n} 的通項公式；
（Ⅲ）證明數列{

an-c

n

}是等差數列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用遞推關系式求出a₁，a₂，a₃關于c的表達式，再結合a₁，a₂，a₃成等比數列即可求c的值；
（Ⅱ）先利用遞推關系式求出a_n-a_n-1=（n-1）c，再利用疊加法得an-a1=[1+2++(n-1)]c=

n(n-1)

2

c；把（Ⅰ）的結論代入整理后即可求得{a_n} 的通項公式；
（Ⅲ）把前兩問的結論相結合求出數列{

an-c

n

}的表達式，再利用等差數列的定義證明即可．

解答：解：（Ⅰ）a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，因為a₁，a₂，a₃成等比數列，
所以（2+c）²=2（2+3c），解得c=0（舍）或c=2．
故c=2；（5分）
（II）當n≥2時，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，a_n-a_n-1=（n-1）c，
所以an-a1=[1+2++(n-1)]c=

n(n-1)

2

c．
又a₁=2，c=2，故a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n=2，3，）．
當n=1時，上式也成立，
所以a_n=n²-n+2（n=1，2，）；（5分）
（Ⅲ）bn=

an-c

n

=n-1；b_n+1=n．b_n+1-b_n=1，
∴數列{

an-c

n

}是等差數列．（5分）

點評：本題主要考查數列遞推式以及等差關系的確定問題．是對等差數列和等比數列知識的綜合考查，屬于中檔題目．解決第二問的關鍵在于求數列通項中疊加法的應用．