Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，是上的一點.

（1）求證：平面平面；

（2）若是的中點，，且直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）證明AC⊥PC，AC⊥BC，得到AC⊥平面PBC，然后證明平面EAC⊥平面PBC．

（2）以C為原點，建立空間直角坐標系，求出面PAC的法向量．面EAC的法向量，然后求解二面角的余弦函數值．

（1）證明：∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

∴AC⊥PC，AB＝2，AD＝CD＝1，

∴，∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，

又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵AC平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC．

（2）以C為原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

則C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0），

設P（0，0，a）（a＞0），則E（，，），

∴（1，1，0），（0，0，a）（a＞0），

（，，），（1，1，﹣a），

設（x，y，z）為平面PAC的法向量，

則，可取（1，﹣1，0）

同理平面EAC的法向量（a，﹣a，﹣2），

依題意，設直線PA與平面EAC所成角為θ，

則sinθ＝|cos，|，

解得a＝2，或a＝1（舍去，此時不滿足），

∴（2，﹣2，﹣2），

∴|cos，|

∴平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為