Question

已知方程

|cosx|

x

=k在（0，+∞）上有兩個不同的解α、β（α＜β），則下列的四個命題正確的是（　　）

• A、sin2α=2αcos²α
• B、cos2α=2αsin²α
• C、sin2β=-2βsin²β
• D、cos2β=-2βsina²β

Answer 1

考點：余弦函數(shù)的圖象

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：將方程

|cosx|

x

=k轉(zhuǎn)化為|cosx|=kx，作出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論．

解答：解：∵

|cosx|

x

=k，∴|cosx|=kx，
∴要使方程

|cosx|

x

=k（k＞0）在（0，+∞）上有兩個不同的解，則y=|cosx|的圖象與直線y=kx（k＞0）在（0，+∞）上
有且僅有兩個公共點，
所以直線y=kx與y=|cosx|在（

π

2

，π）內(nèi)相切，且切于點（β，-cosβ），此時y=|cosx|=-cosx．
∴切線的斜率為sinβ=

-cosβ

β

，∴βsinβ=-cosβ，
∴2βsinβsinβ=2sinβcosβ，
∴sin 2β=-2βsin²β，
故選：C．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．