Question

【題目】已知函數(shù)，，給出如下四個(gè)命題：

①的單調(diào)遞增區(qū)間為；

②時(shí)，的極小值點(diǎn)為；

③時(shí)，在上存在唯一零點(diǎn)；

④若在（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最小值為3，則．

其中的真命題有______．（填上你認(rèn)為所有正確的結(jié)論序號(hào)

Answer 1

【答案】②④

【解析】

求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的取值范圍以及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷①；根據(jù)極小值點(diǎn)的定義可判斷②；根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可判斷③；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷④.

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，解得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故①錯(cuò)誤；

當(dāng)時(shí)，，令，解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，

令，解得，函數(shù)在單調(diào)遞減，

所以的極小值點(diǎn)為，故②正確；

當(dāng)時(shí)，由，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為，，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

時(shí)，僅有一個(gè)零點(diǎn)；，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，

解得，顯然不成立；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

當(dāng)時(shí)，即，，解得，成立；

當(dāng)，即，，解得，顯然不成立，

故④正確；

故答案為：②④