Question

已知拋物線y²=4x的焦點為F．
（1）若直線l過點M（4，0），且F到直線l的距離為2，求直線l的方程；
（2）設A，B為拋物線上兩點，且AB不與X軸垂直，若線段AB中點的橫坐標為2．求證：線段AB的垂直平分線恰過定點．

Answer 1

分析：（1）設直線l的方程為y=k（x-4），利用F到直線l的距離為2，即可求得直線的方程；
（2）設直線AB的方程代入拋物線方程，利用韋達定理及線段AB中點的橫坐標為2，求得AB的垂直平分線方程，進而可得線段AB的垂直平分線恰過定點

解答：（1）解：由已知，拋物線y²=4x的焦點為F（1，0），x=4不合題意，設直線l的方程為y=k（x-4）
∵F到直線l的距離為2，∴

|3k|

1+k2

=2，∴k=±

2 5

5

∴直線l的方程為y═±

2 5

5

（x-4）
（2）證明：設A，B的坐標A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵AB不與x軸垂直，
∴設直線AB的方程為y=kx+b
代入拋物線方程，消元可得k²x²+（2bk-4）+b²=0
∴x₁+x₂=

4-2bk

k2

∵線段AB中點的橫坐標為2
∴

4-2bk

k2

=4
∴b=

2-2k2

k

∵線段AB中點的坐標為（2，2k+b）
∴AB的垂直平分線方程為：y-（2k+b）=-

1

k

（x-2）
∵b=

2-2k2

k

∴方程可化為x+ky-4=0，顯然過定點（4，0）
∴線段AB的垂直平分線恰過定點

點評：本題考查拋物線的性質，考查直線方程，考查直線恒過定點，解題的關鍵是聯立方程，利用韋達定理求解．