Question

已知拋物線y²=4x的焦點為F，其準線與x軸交于點M，過M作斜率為k的直線與拋物線交于A、B兩點，弦AB的中點為P，AB的垂直平分線與x軸交于點E（x₀，0）．
（1）求k的取值范圍；
（2）求證：x₀＞3；
（3）△PEF能否成為以EF為底的等腰三角形？若能，求此k的值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設斜率為k的直線方程為y=k（x+1）代入拋物線方程，利用根的判別式，即可得到結論；
（2）求出AB的垂直平分線方程，令y=0，即可證得結論．
（3）利用EF中點坐標與P的橫坐標相等，即可求得結論．

解答：（1）解：由題意，M（-1，0），
設斜率為k的直線方程為y=k（x+1）
代入拋物線方程，整理可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0
∵過M作斜率為k的直線與拋物線交于A、B兩點，
∴（2k²-4）²-4k⁴＞0且k≠0
∴-1＜k＜0或0＜k＜1
∴k的取值范圍是（-1，0）∪（0，1）；     
（2）證明：由（1）知，k²x²+（2k²-4）x+k²=0
∵過M作斜率為k的直線與拋物線交于A、B兩點，弦AB的中點為P
∴P的橫坐標為

2-k2

k2

，
代入y=k（x+1），可得P的縱坐標為

2

k

                 
∴AB的垂直平分線方程為y-

2

k

=-

1

k

（x-

2-k2

k2

）
令y=0可得x₀=

2+k2

k2

=

2

k2

+1
∵-1＜k＜0或0＜k＜1
∴k²＜1且k≠0
∴

2

k2

＞2
∴

2

k2

+1＞3，即x₀＞3；
（3）若△PEF能成為以EF為底的等腰三角形，則
由EF中點坐標與P的橫坐標相等，可得

1+ 2+k2 k2

2

=

2-k2

k2

∴k=±

2

2

．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查直線方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．