Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到曲線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）曲線上是否存在不同的兩點(diǎn)，（以上兩點(diǎn)坐標(biāo)均為極坐標(biāo)，，，，），使點(diǎn)、到的距離都為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在，

【解析】

（1）首先根據(jù)題意求出曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），從而得到直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可.根據(jù)，，將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可.

（2）首先計(jì)算曲線的圓心到直線的距離，結(jié)合圖象得到存在這樣的點(diǎn)，再利用極坐標(biāo)計(jì)算的值即可.

（1）由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

將曲線上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），

得到曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

得到曲線的直角坐標(biāo)方程為，其極坐標(biāo)方程為，

又直線的極坐標(biāo)方程為，

故其直角坐標(biāo)方程為.

（2）曲線是以為圓心，為半徑的圓，

圓心到直線的距離，

所以存在這樣的點(diǎn)，，且點(diǎn)到直線的距離為，

如圖所示：

因?yàn)?/span>，所以，

即：.

又因?yàn)?/span>，，，

所以.