Question

【題目】以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線的參數方程為，曲線的極坐標方程為

求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

若把曲線上給點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標伸長為原來的倍，得到曲線，設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最大值.

Answer 1

【答案】（1） ，；（2）

【解析】

（1）消去參數t可得直線l的普通方程,由極坐標與直角坐標互化公式得曲線C1的直角坐標方程；

（2）根據坐標變換公式得曲線C2的參數方程，再根據點到直線的距離公式以及三角函數的性質可得最大值．

（1）由（t為參數），得，即.故直線的普通方程是.

由，得，即.

代入得.故曲線的直角坐標方程是.

（2）曲線的直角坐標方程化為參數方程是（為參數），若把曲線上各點的橫坐標伸長為原來的倍，

縱坐標伸長為原來的倍，得到的曲線的參數方程（為參數）.

由點到直線的距離公式得，點到直線的距離是

，其中.

當時，取得最大值，且最大值為.