如圖1,矩形
中,
,
,
、
分別為
、
邊上的點,且
,
,將
沿
折起至
位置(如圖2所示),連結
、
,其中
.
(Ⅰ)求證:
平面
；
(Ⅱ)在線段
上是否存在點
使得
平面
?若存在,求出點的位置；若不存在,請說明理由.
(Ⅲ)求點
到平面的距離.
(Ⅰ)答案詳見解析；(Ⅱ)存在，
；(Ⅲ) 
.
解析試題分析：(Ⅰ)三角形
和三角形
中，各邊長度確定，故可利用勾股定理證明垂直關系
，進而由線面垂直的判定定理可證明平面；(Ⅱ)要使得平面，只需
，因為
，故；(Ⅲ)點到平面的距離，就是點到平面垂線段的長度，如果垂足位置不易確定，可考慮等體積轉化，該題中點
到面
的距離確定，故可利用
求點到平面的距離.
試題解析：(Ⅰ)連結
,由翻折不變性可知,
,
,在
中,
,所以
， 在圖
中,易得
,
在
中,
,所以，又
,
平面,
平面,所以平面.
(Ⅱ)當為的三等分點(靠近)時,平面.證明如下:
因為,,所以
， 又
平面,
平面,所以平面.
(Ⅲ) 由(Ⅰ)知平面,所以為三棱錐
的高.
設點到平面的距離為
,由等體積法得, 即
,又
,
, 所以
, 即點到平面的距離為.
考點：1、直線和平面垂直的判定定理；2、直線和平面平行的判定定理；3、點到平面的距離.
心算口算巧算一課一練系列答案
應用題作業本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
四棱錐P－ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，又PA＝PD，∠APD＝60°，E、G分別是BC、PE的中點．
(1)求證：AD⊥PE；
(2)求二面角E－AD－G的正切值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知三棱柱
的側棱長和底面邊長均為2，
在底面ABC內的射影O為底面△ABC的中心，如圖所示：
（1）聯結
，求異面直線
與所成角的大小；
（2）聯結
、
，求三棱錐C1－BCA1的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知:如圖，等腰直角三角形
的直角邊
，沿其中位線
將平面
折起，使平面⊥平面
，得到四棱錐
，設
、
、
、
的中點分別為
、
、
、
.
（1）求證：、、、四點共面；
（2）求證：平面
平面
；
（3）求異面直線與
所成的角.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示，在四棱錐
中，底面四邊形
是菱形，
,
是邊長為2的等邊三角形，
,
.
（Ⅰ）求證：
底面；
（Ⅱ）求直線
與平面
所成角的大小；
（Ⅲ）在線段
上是否存在一點
，使得
∥平面
？如果存在，求
的值，如果不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC =60°，AB=PC=2，AP=BP=
．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．
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中，
分別
的中點.
；
是靠近
的
的四等分點，求證：
.
中，底面
是矩形，四條側棱長均相等且
交
于點
.
;
.
中，
平面
，
.
；
分別為
的中點，點
為△
內一點，且滿足
，
∥面
；
，
，求二面角
的余弦值．