Question

【題目】如圖，某人工景觀湖外圍有兩條相互垂直的直線型公路ll，l2，且ll和l2交于點O．為了方便游客游覽，計劃修建一條連接公路與景觀湖的直線型公路AB．景觀湖的輪廓可以近似看成一個圓心為O，半徑為2百米的圓，且公路AB與圓O相切，圓心O到ll，l2的距離均為5百米，設OAB＝，AB長為L百米．

（1）求L關于的函數解析式；

（2）當為何值時，公路AB的長度最短？

Answer 1

【答案】（1），.（2）當時，公路的長度最短

【解析】

（1）建立平面直角坐標系，得到直線方程為，然后根據直線與圓相切，得，再根據題意得到，于是，即為所求．（2）利用換元法求解，令，則，且，于是，然后結合導數求解可得所求最值．

（1）以點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則．

在直角中，，，

所以直線方程為，

即，

因為直線與圓相切，

所以，

因為點在直線的上方，

所以，

解得．

因此L關于的函數解析式為，．

（2）令，則，且，

所以，

因為，

所以在上單調遞減，

所以當，即時，取得最小值，且．

故當時，公路的長度最短．