Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，為的中點，，，，.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（1）連接BC1交B1C于點E，連接DE，證明DE∥,即可證明∥平面．（2）以CA，CB，CC1為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系C﹣xyz，直線DC1與平面B1CD所成角為θ，求出平面B1CD的法向量，然后利用空間向量的數量積求解即可．

（Ⅰ）連接交于點，連接，

∵四邊形是平行四邊形，

∴點是的中點，

又點為的中點，

∴是的中位線，∴.

又DE平面B1CD，AC1平面B1CD，

∴平面.

（Ⅱ）由，，，由余弦定理得可得，

以點為坐標原點，，，為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，，

∴，，，

設平面的法向量為，則，，

即，令，得，

∴，

∴直線與平面所成角的正弦值為.