Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）過點A（﹣ ， ），離心率為 ，點F1 ， F2分別為其左右焦點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若y2=4x上存在兩個點M，N，橢圓上有兩個點P，Q滿足，M，N，F2三點共線，P，Q，F2三點共線，且PQ⊥MN．求四邊形PMQN面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得： ，a2﹣b2=c2，得b=c，

因為橢圓過點A（﹣ ， ），

則 + =1，

解得c=1，所以a2=2，

所以橢圓C方程為

（2）解：當直線MN斜率不存在時，直線PQ的斜率為0，

易得 ， ．

當直線MN斜率存在時，設直線方程為：y=k（x﹣1）（k≠0）

與y2=4x聯立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

令M（x1，y1），N（x2，y2），則 ，x1x2=1，

|MN|= ．即有 ，

∵PQ⊥MN，∴直線PQ的方程為：y=﹣ （x﹣1），

將直線與橢圓聯立得，（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，

令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4= ，x3x4= ，

由弦長公式|PQ|= ，

代入計算可得 ，

∴四邊形PMQN的面積S= |MN||PQ|= ，

令1+k2=t，（t＞1），

上式 = ，

所以 ．最小值為

【解析】（1）由橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程及a，b，c的關系，解方程，即可得到橢圓方程；（2）討論直線MN的斜率不存在，求得弦長，求得四邊形的面積；當直線MN斜率存在時，設直線方程為：y=k（x﹣1）（k≠0）聯立拋物線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，以及四邊形的面積公式，計算即可得到最小值．