Question

已知下表為函數f（x）=ax³+cx+d部分自變量取值及其對應函數值，為便于研究，相關函數值非整數值時，取值精確到0.01．

x	3.27	1.57	-0.61	-0.59	0.26	0.42	-0.35	-0.56		4.25
y	-101.63	-10.04	0.07	0.026	0.21	0.20	-0.22	-0.03		-226.05

下列關于函數f（x）的敘述：
（1）f（x）為奇函數；                          （2）f（x）在[0.55，0.6]上必有零點
（3）f（x）在（-∞，-0.35]上單調遞減；         （4）a＜0
其中所有正確命題的個數是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：根據圖表中f（0）=0求得d=0，進而可判斷出f（-x）=-f（x）函數為奇函數，結合f（-0.56）＜0可得f（0.56）＞0，同理得f（0.59）＜0，進而可知f（x）在[0.55，0.6]上必有零點；根據圖象的趨勢f（-0.35）=-0.22，f（-0.56）=-0.03，f（-0.59）=0.026，f（-0.61）=0.07，可推斷出函數f（x）在（-∞，-0.35]上單調遞減，根據其單調區間，可以判斷其導函數的圖象，進而得到a的符號．
解答：解：∵f（0）=0
∴f（x）=ax³+cx，則f（-x）=a（-x）³+c（-x）=-f（x）
即f（x）為奇函數，即（1）正確；
∵f（-0.59）=0.026＞0，∴f（0.59）＜0
又∵f（-0.56）=-0.03＜0，∴f（0.56）＞0
∵f（0.56）•f（0.59）＜0
故在[0.56，0.59]上必有零點，則[0.55，0.6]上必有零點，即（2）正確；
由于函數f（x）=ax³+cx為三次函數，有三個零點，故函數必有三個單調區間
∵f（-0.35）=-0.22，f（-0.56）=-0.03，f（-0.59）=0.03，f（-0.61）=0.07，
∴f（x）在（-∞，-0.35]上單調遞減，故（3）正確；
由于函數有兩個單調遞減區間，一個單調遞增區間，故其導函數的圖象是開口朝下的拋物線，故a＜0，故（4）正確
故選A
點評：本題主要考查了函數奇偶性的判斷．考查了學生分析推理和解決實際問題的能力．