Question

【題目】已知函數.

(1)求的極大值；

(2)當時，不等式恒成立，求的最小值；

(3)是否存在實數，使得方程在上有唯一的根，若存在，求出所有的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）-1；（3）存在，且當符合題意。

【解析】

(1)求導,明確函數的單調性，從而得到的極大值；

(2) 不等式恒成立，即恒成立，記，求其最大值，即可得到的最小值；

(3) 記，由，存在，使在上有零點，再證明唯一性即可.

（1），令，得.

當時，，則在上單調遞增，當時，，則在上單調遞減，故當時，的極大值為．

（2）不等式恒成立，即恒成立，

記，則，

當時，令，得，

當時，，此時單調遞增，當時，，此時單調遞減，則，即，…8分

則， 記，則，令，得

當時，，此時單調遞減，當時，，此時 單調遞增，，故的最小值為.

（3）記，由，

故存在，使在上有零點，下面證明唯一性：

① 當時，，故，在上無解

②當時，，而，

此時，單調遞減，

所以當符合題意．