Question

已知經過點P（0，2）且以為一個方向向量的直線l與雙曲線3x²-y²=1相交于不同兩點A、B．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）若點A、B均在已知雙曲線的右支上，且滿足，求實數a的值；
（3）是否存在這樣的實數a，使得A、B兩點關于直線對稱？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知，直線l的方程為 y=ax+2．
由 消去y，并整理得 （3-a²）x²-4ax-5=0．①
依題意得 解得 且且．②
因此 所求的實數a的取值范圍為 ．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．因為點A、B均在已知雙曲線的右支上，
所以 （1）中方程①具有兩個不同的正實數根x₁、x₂，即x₁＞0、x₂＞0，
于是 解得 ．
又 ，即 （x₁，y₁）•（x₂，y₂）=0，即 x₁x₂+y₁y₂=0，
而 y₁y₂=（ax₁+2）（ax₂+2）=a²x₁x₂+2a（x₁+x₂）+4，
所以 x₁x₂+a²x₁x₂+2a（x₁+x₂）+4=0，即 （1+a²）x₁x₂+2a（x₁+x₂）+4=0，
則 ，解得 ．
又因為 ，所以 ．
因此 所求實數a的值為 ．
（3）假設存在實數a，使A、B兩點關于直線對稱，則直線y=ax+2與相互垂直．
因為直線y=ax+1與的一個法向量分別為為（a，-1）、（1，-2），由題意，向量（a，-1）、（1，-2）也相互垂直，即有 （a，-1）•（1，-2）=0，即 a+2=0，解得a=-2．（注：由直線y=ax+2與相互垂直得 ，解得a=-2．這樣做也行．）
所以直線l的方程為y=-2x+2．
聯立方程組 消去y，并整理得 x²-8x+5=0．
這里△=（-8）²-20=44＞0，且x₁+x₂=8，x₁x₂=-5，
所以，則．
設線段AB的中點為M，則 M（4，-6）．
由于AB中點M（4，-6）也在直線上，
因此 存在實a=-2，可使A、B兩點關于直線對稱．
分析：（1）因為直線l經過點P（0，2）且以為一個方向向量，所以可寫出點斜式方程，與雙曲線方程聯立，因為直線與雙曲線相交于不同兩點，利用韋達定理，即可求出實數a的取值范圍．
（2）若點A、B均在已知雙曲線的右支上，則（1）中直線與雙曲線聯立得到的關于x的一元二次方程有兩正根，除滿足△≥0外，還需滿足兩根之和大于0，兩根之積大于0，把a的范圍進一步縮小，再由，求出a值．
（3）先假設存在實數a，使得A、B兩點關于直線對稱，則直線為線段AB的垂直平分線，直線l的法向量與直線的法向量互相垂直，得到a的值，再求出直線l的方程，與雙曲線方程聯立，求出A，B點的中點M坐標，判斷M點是否再直線，若在，則假設成立，否則，假設不成立．
點評：本題主要考查了韋達定理在直線與雙曲線位置關系判斷中的應用，注意設而不求思想的應用．