Question

已知經(jīng)過點(diǎn)P（0，2）且以

d

=(1，a)為一個(gè)方向向量的直線l與雙曲線3x²-y²=1相交于不同兩點(diǎn)A、B．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若點(diǎn)A、B均在已知雙曲線的右支上，且滿足

OA

•

OB

=0，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=

1

2

x-8對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橹本�l經(jīng)過點(diǎn)P（0，2）且以

d

=(1，a)為一個(gè)方向向量，所以可寫出點(diǎn)斜式方程，與雙曲線方程聯(lián)立，因?yàn)橹本�與雙曲線相交于不同兩點(diǎn)，利用韋達(dá)定理，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）若點(diǎn)A、B均在已知雙曲線的右支上，則（1）中直線與雙曲線聯(lián)立得到的關(guān)于x的一元二次方程有兩正根，除滿足△≥0外，還需滿足兩根之和大于0，兩根之積大于0，把a(bǔ)的范圍進(jìn)一步縮小，再由

OA

•

OB

=0，求出a值．
（3）先假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=

1

2

x-8對(duì)稱，則直線y=

1

2

x-8為線段AB的垂直平分線，直線l的法向量與直線y=

1

2

x-8的法向量互相垂直，得到a的值，再求出直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，求出A，B點(diǎn)的中點(diǎn)M坐標(biāo)，判斷M點(diǎn)是否再直線y=

1

2

x-8，若在，則假設(shè)成立，否則，假設(shè)不成立．

解答：解：（1）由已知，直線l的方程為  y=ax+2．
由  

y=ax+2 3x2-y2=1

消去y，并整理得  （3-a²）x²-4ax-5=0．①
依題意得     

3-a2≠0 △＞0

解得 -

15

＜a＜

15

且a≠

3

且a≠-

3

．②
因此  所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍為   (-

15

，-

3

)∪(-

3

，

3

)∪(

3

，

15

)．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．因?yàn)辄c(diǎn)A、B均在已知雙曲線的右支上，
所以 （1）中方程①具有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根x₁、x₂，即x₁＞0、x₂＞0，
于是     

△=(-4a)2+20(3-a2)＞0 x1+x2= 4a 3-a2 ＞0. x1x2=- 5 3-a2 ＞0.

解得 -

13

＜a＜-

3

．
又   

OA

•

OB

=0，即   （x₁，y₁）•（x₂，y₂）=0，即  x₁x₂+y₁y₂=0，
而  y₁y₂=（ax₁+2）（ax₂+2）=a²x₁x₂+2a（x₁+x₂）+4，
所以  x₁x₂+a²x₁x₂+2a（x₁+x₂）+4=0，即 （1+a²）x₁x₂+2a（x₁+x₂）+4=0，
則   (1+a2)•(-

5

3-a2

)+2a•

4a

3-a2

+4=0，解得  a=±

7

．
又因?yàn)?nbsp; -

13

＜a＜-

3

，所以  a=-

7

．
因此  所求實(shí)數(shù)a的值為  -

7

．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=

1

2

x-8對(duì)稱，則直線y=ax+2與y=

1

2

x-8相互垂直．
因?yàn)橹本�y=ax+1與y=

1

2

x-8的一個(gè)法向量分別為為（a，-1）、（1，-2），由題意，向量（a，-1）、（1，-2）也相互垂直，即有  （a，-1）•（1，-2）=0，即 a+2=0，解得a=-2．（注：由直線y=ax+2與y=

1

2

x-8相互垂直得  a•

1

2

=-1，解得a=-2．這樣做也行．）
所以直線l的方程為y=-2x+2．
聯(lián)立方程組  

y=-2x+2 3x2-y2=1.

消去y，并整理得  x²-8x+5=0．
這里△=（-8）²-20=44＞0，且x₁+x₂=8，x₁x₂=-5，
所以

x1+x2

2

=4，則

y1+y2

2

=-2•(

x1+x2

2

)+2=-6．
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則  M（4，-6）．
由于AB中點(diǎn)M（4，-6）也在直線y=

1

2

x-8上，
因此  存在實(shí)a=-2，可使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=

1

2

x-8對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了韋達(dá)定理在直線與雙曲線位置關(guān)系判斷中的應(yīng)用，注意設(shè)而不求思想的應(yīng)用．