Question

【題目】已知點是橢圓上任一點，點到直線的距離為，到點的距離為，且.直線與橢圓交于不同兩點（都在軸上方），且.

（1）求橢圓的方程；

（2）當為橢圓與軸正半軸的交點時，求直線方程；

（3）對于動直線，是否存在一個定點，無論如何變化，直線總經過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) （3）直線總經過定點

【解析】試題分析：（1） 設,用坐標表示條件列出方程化簡整理可得橢圓的標準方程；（2）由（1）可知， ，即可得，由得，寫出直線的方程與橢圓方程聯立，求出點的坐標，由兩點式求直線的方程即可；（3）由，得，設直線方程為，與橢圓方程聯立得，由根與系數關系計算得，從而得到直線方程為，從而得到直線過定點.

試題解析： （1）設，則， ，………………1分

∴，化簡，得，∴橢圓的方程為.………………3分

（2）， ，∴，………………4分

又∵，∴， .

代入解，得（舍）∴，………………6分

，∴.即直線方程為.………………7分

（3）∵，∴.

設，，直線方程為.代直線方程入，得

.………………9分

∴，，∴=

，

∴，……………11分

∴直線方程為，

∴直線總經過定點.………………12分