Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，垂直于底面，.

（1）求證；　

（2）求平面與平面所成二面角的大小；

（3）設棱的中點為，求異面直線與所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據題意，由線面垂直證線線垂直，再根據線面垂直的判定定理，證明線面垂直，再證線線垂直.

（2）由（1）中線面垂直，可知所求二面角的平面角為，根據題意可求角度.

（3）利用中位線將異面直線平移，則或其補角是異面直線與所成角，根據勾股定理，即可求解.

（1）∵底面是正方形， ∴，

∵底面，底面，∴，又， ∴平面，∵平面，∴.

（2）由（1）知，又，∴為所求二面角的平面角，

　在中，∵，∴.

（3）取中點，連結，

在，由中位線定理得 ，

或其補角是異面直線與所成角，

∵，，

所以中，有，.